Matrix Algebra

Matrix algebra covers addition, scaling, and multiplication of matrices.

행렬의 기본 표기

$m$개의 행과 $n$개의 열을 갖는 행렬을 $m\times n$ 행렬이라고 한다.

$$A=[a_{ij}{]}_{m\times n}$$

• $i$: 행 번호
• $j$: 열 번호
• $a_{ij}$: $i$행 $j$열의 원소

스칼라(scalar)는 여기서는 실수 또는 복소수로 생각한다. 더 일반적으로는 체(field)의 원소로 정의할 수 있다.

행렬의 상등 (Equal Matrices)

두 행렬 $A$, $B$가 같으려면 다음 두 조건을 모두 만족해야 한다.

1. 두 행렬의 크기가 같다.
2. 대응하는 모든 원소가 같다: $a_{ij}=b_{ij}$.

행렬의 덧셈과 스칼라배

같은 크기의 행렬끼리 대응하는 원소를 더한다.

$$A+B=[a_{ij}+b_{ij}{]}_{m\times n}$$

스칼라 $c$를 행렬에 곱하면 모든 원소에 $c$를 곱한다.

$$cA=[c{a}_{ij}{]}_{m\times n}$$

기본 성질 (p.4)

$A$, $B$, $C$는 같은 크기의 행렬이고, $c$, $d$는 스칼라라고 하자.

성질	식
덧셈의 교환법칙	$A+B=B+A$
덧셈의 결합법칙	$(A+B)+C=A+(B+C)$
스칼라배의 결합법칙	$c(dA)=(cd)A$
스칼라 $1$의 곱	$1A=A$
행렬의 합에 대한 분배법칙	$c(A+B)=cA+cB$
스칼라의 합에 대한 분배법칙	$(c+d)A=cA+dA$

행렬의 곱셈 (Matrix Multiplication)

$AB$가 정의되려면 앞 행렬의 열 개수와 뒤 행렬의 행 개수가 같아야 한다.

$A$가 $m\times p$, $B$가 $p\times n$ 행렬이면 $AB$는 $m\times n$ 행렬이다.

$$AB={\left[\sum _{k=1}^p{a}_{ik}{b}_{kj}\right]}_{m\times n}$$

즉, $AB$의 $(i,j)$ 원소는 $A$의 $i$번째 행과 $B$의 $j$번째 열에서 대응하는 원소를 곱한 뒤 더한 값이다.

예시

$$A=\left[\begin{array}{cc}4& 7\\ 3& 5\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}9& -2\\ 6& 8\end{array}\right]$$ $$AB=\left[\begin{array}{cc}4\cdot 9+7\cdot 6& 4\cdot (-2)+7\cdot 8\\ 3\cdot 9+5\cdot 6& 3\cdot (-2)+5\cdot 8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}78& 48\\ 57& 34\end{array}\right]$$

곱셈 순서에 주의

행렬의 곱셈은 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는다. 항상 $AB\ne BA$라는 뜻은 아니며, 행렬에 따라 $AB=BA$일 수도 있다.

• $AB$가 정의되어도 $BA$는 정의되지 않을 수 있다.
• 둘 다 정의되더라도 크기가 다를 수 있다.
• 크기가 같더라도 대응하는 원소가 다를 수 있다.

연산에 필요한 행렬의 크기가 맞을 때, 다음 성질이 성립한다.

성질	실수	행렬
덧셈의 교환법칙	$a+b=b+a$	$A+B=B+A$
덧셈의 결합법칙	$(a+b)+c=a+(b+c)$	$(A+B)+C=A+(B+C)$
곱셈의 교환법칙	$ab=ba$	일반적으로 성립하지 않음
곱셈의 결합법칙	$(ab)c=a(bc)$	$(AB)C=A(BC)$
왼쪽에서 곱할 때의 분배법칙	$a(b+c)=ab+ac$	$A(B+C)=AB+AC$
오른쪽에서 곱할 때의 분배법칙	$(a+b)c=ac+bc$	$(A+B)C=AC+BC$

전치행렬 (Transpose, p.10)

$A$의 행과 열을 서로 바꾼 행렬을 전치행렬 $A^T$라고 한다. $A$가 $m\times n$ 행렬이면 $A^T$는 $n\times m$ 행렬이다.

$$(A^T{)}_{ij}=a_{ji}$$

특히, 곱의 전치를 구할 때는 곱셈 순서가 뒤집힌다.

$$(AB{)}^T=B^T{A}^T$$

TODO: 이 성질을 직접 증명해 보기.

정사각행렬과 특수한 행렬

정사각행렬 (Square Matrix, p.11)

행과 열의 개수가 같은 $n\times n$ 행렬이다. 주대각선(main diagonal)은 $i=j$인 원소들로 이루어진다.

• 주대각선 아래: $i>j$ (행 번호가 더 큼)
• 주대각선 위: $i<j$ (열 번호가 더 큼)

삼각행렬 (Triangular Matrix, p.11)

종류	정의	원소 조건
상삼각행렬 (Upper Triangular)	주대각선 아래의 원소가 모두 $0$인 정사각행렬	$i>j$이면 $a_{ij}=0$
하삼각행렬 (Lower Triangular)	주대각선 위의 원소가 모두 $0$인 정사각행렬	$i<j$이면 $a_{ij}=0$

대각행렬 (Diagonal Matrix, p.12)

주대각선 이외의 원소가 모두 $0$인 정사각행렬이다.

$$i\ne j⟹a_{ij}=0$$

단위행렬 (Identity Matrix, p.13)

주대각선의 원소가 모두 $1$인 대각행렬이다. $n\times n$ 단위행렬을 $I_n$으로 표시한다.

$A$가 $m\times n$ 행렬이면 다음이 성립한다.

$$I_{m}A=A{I}_n=A$$

대칭행렬 (Symmetric Matrix, p.13)

주대각선을 기준으로 대응하는 원소가 같은 정사각행렬이다.

$$A^T=A$$

즉, 모든 $1\le i,j\le n$에 대해 $a_{ij}=a_{ji}$이다.